3.1.3 基于未来变量的最优预测

3.1.3 基于未来变量的最优预测

通常我们关注的是条件预测，即在另一个随机变量 W 的某一特定未来路径下，对 Y 的预测。在上述分析以及后续内容中，可以通过将 ${\rho }_Y(y|z,\theta )$ 和 $p_Z(z|\theta )$ 替换为以 W 的取值为 $w$ 为条件的分布——即 $PY(y|z,w,\theta )$ 和 $p_Z(z|w,\theta )$——来将结果推广到这一情形。例如，美联储可能希望基于未来联邦基金利率的路径来预测通胀。虽然这种推广在概念上看似简单，但在实践中可能难以实现。困难在于构建 $p_Y(y|z,w,\theta )$。通常需要一个数据的结构模型，以理解在给定我们所要条件化的变量的未来取值时，结果变量的分布。在基于联邦基金利率进行通胀预测的情形下，我们需要一个关于结构性关系的模型，以理解通胀在不存在通胀自身反馈效应的情况下如何对联邦基金利率作出反应。

3.2 经典方法

应用上一节的任何结论，都需要估计在给定 $z$ 条件下 Y 条件分布相应特征的模型形式，以及在此估计过程中出现的未知参数。假设我们有一个关于最优预测的参数模型 $f(z,\beta )$，其中 $\beta$ 是模型的参数，而 $\beta$ 本身又是 $\theta$ 的函数。我们的（不可行的）最优预测模型 $f(z,\hat{\mathbf{\beta }})$ 必须经过估计，并由此变为 $f(z,\hat{\mathbf{\beta }})$，其中 $\hat{\mathbf{\beta }}$ 将是 $z$ 的函数，即用于构造预测模型估计值的可用数据。因为参数估计量是可用数据 $z$ 的函数，我们可以写成 $f(z,\hat{\mathbf{\beta }})=f(z)$。在经典方法中，一个好的估计量——从而一个好的预测模型——应当具有较低的平均损失，其中对 $Z$ 以及 Y 均取平均。这就是具有低风险的估计量（或预测模型），其风险定义为

$$\begin{array}{l}R(\theta ,f)=E_{Y,Z}\left[L(f(Z),Y)\right]\\ ={\int }_z{\int }_{y}L(f(z),y{)}_{PY}(y|z,\theta {)}_{PZ}(z|\theta )dydz.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

这就是经典预测方法——即用于选择 $f(z)$ 的方法——试图控制并最小化的风险。