参数预测问题

预测者的目标是利用数据——随机变量 $Z$ 的结果——来预测随机变量 $Y$ 的值。设 $T$ 为计算预测的日期，定义 ${\mathcal{I}}_T$ 为由 $\{Z_t{\}}_{t=1}^T$ 生成的 sigma 代数，因此 ${\mathcal{I}}_T$ 是一个 filtration（${\mathcal{T}}_{T-1}\subset {\mathcal{T}}_T$）。遵循预测文献中的惯用术语，我们将 ${\mathcal{I}}_T$ 称为时间 $T$ 的信息集。当预测问题的时间维度明确时，我们将 $Z$ 定义为 $\{Z_t{\}}_{t=1}^T$；当需要更明确时间下标时，则定义为 $Z_T$，并将条件于 $Z$ 或条件于 ${\mathcal{I}}_T$ 的对象视为含义相同。$E[Y|z]$ 表示 $E[Y|Z=z]$ 或 $E[Y|{\mathcal{I}}_T]$。随机变量 $Z$ 通常包括被预测变量的过去值以及其他可能有用的变量 $X_t$，因此通常有 $\{Z_t{\}}_{t=1}^T=\{Y_t,X_t{\}}_{t=1}^T$。在某些情况下（例如我们在第 7 章和第 9 章中详细讨论的 ARIMA 和 VAR 预测），信息集可能仅包括被预测变量的过去值。$Y$ 可以是向量，也可以是单变量。

我们在整个分析中假设 $\{Y,Z\}$ 存在联合分布，可以写为 $p_Y(y|z,\theta )p_Z(z,\theta )$，其中向量 $\theta$ 包含联合分布的所有参数。通过对记号的轻微滥用，我们无论指的是 $Y$ 给定 $Z$ 的条件分布还是联合分布，都将真实参数称为 $\theta$。我们将该联合分布称为数据生成过程或真实模型。

本章重点讨论最优点预测的构建，即针对一般预测问题寻找最佳的 $f(Z)$。考虑预测的最优性有许多原因。首先，显然我们希望得到尽可能好的预测。其次，与预测最优性相关的问题可能很复杂，即使在最简单的问题中也不存在单一最佳的预测方法。选择一种好的预测方法往往需要对问题进行比仅仅陈述一个损失函数更深入的思考，并且对于现实的预测问题，确定一组合理的模型并不一定简单明了。这一点促使我们在实证预测文献（以及本书第二部分）中考虑各种各样的方法，不同方法针对不同的数据生成过程和预测目标进行了调整。关于预测最优性的结论通常仅限于受限的模型类，因此可能非常弱——最优性往往不会延伸太远，因为给定相同的数据，可能存在更好的预测模型。

我们使用"风险"作为预测方法性能的衡量标准，也是区分方法优劣的最佳标准。使用统计学文献中的术语，预测方法的风险就是在对 $Y$ 和 $Z$ 同时积分时的期望损失。这种对风险的关注不太可能引起争议。许多预测论文通过蒙特卡洛实验来证明其方法，这些实验在参数空间和数据生成过程中精心选取的几个点上考察风险。此类风险评估练习要求我们仔细考虑模型空间，并避免假设在某些蒙特卡洛研究中有效的方法必然在更一般的情况下也有效，尤其是对于差异较大的数据生成过程。它还突出了损失函数的作用；有利于特定预测模型的结果不一定能推广到其他损失函数。

在单一章节中结合决策理论考察预测问题需要我们在许多方面做简化。因此，本章实际上是从决策理论和估计理论中选取了一些要点，将其适配到预测问题中并使用预测领域的语言。我们不通过附带技术条件的证明来展示结果，而是通过相关示例来说明。

预测模型可以是参数化、半参数化或非参数化的。预测的参数化模型完全由一个有限维未知向量 $\beta$ 来确定。非参数化模型通常具有无限维的未知参数集。半参数化模型介于两者之间。在本章中，我们假设数据的真实联合分布或数据生成过程具有参数化表示，并具有被预测变量与预测者使用的条件信息的联合密度。这正是本章标题所指的设定。

考察点预测的另一种替代方法是提供预测密度。预测密度的构建在贝叶斯方法下自然产生。从经典视角看，估计问题将与点预测有所不同。我们将在下面看到，点预测是预测分布的特征，因为了解预测分布就允许构建最优点预测。因此，生成预测分布在某种意义上是一个更难的问题，因为估计问题是构建比点估计信息量更大的东西。因此，通常建议提供预测分布（预测文献中称为密度预测）优于提供点预测。然而，当预测分布必须被估计时，会出现额外的考虑。

本章将我们的研究范围限定于形式为 L(f, Y) 的损失函数所对应的预测，即我们去掉 L 对 Z 的依赖，只通过 f 来体现。这简化了记号，并且如上一章所述，大多数常用的损失函数都可以这样简化。

本章内容安排如下。第 3.1 节在模型参数已知的条件下考察点预测的最优性。第 3.2 节考虑参数需要估计时的经典（频率主义）方法，同样重点讨论最优性问题。第 3.3 节进一步研究构造点预测的贝叶斯方法。第 3.4 节将这两种方法联系起来，并讨论密度预测。

第 3.5 节在一个实证投资组合决策问题的背景下对各种方法进行比较。第 3.6 节进行总结。