2.5.2 均值-方差效用下的投资组合选择

2.5.2 均值-方差效用下的投资组合选择

作为经济效用与可预测性之间关系的一个说明，考虑如下单期投资组合选择问题：投资者可以持有短期国库券（为简单起见，我们假设其支付零无风险利率），或持有股票（其相对于国库券利率的超额收益为 ${\gamma }_{t+1}$）。假设投资者的初始财富为 $W_t=1$，令 ${\omega }_t$ 为投资者在时期 $t$ 投资于股票的部分财富，则时期 $t+1$ 的未来财富 $W_{t+1}$ 由下式给出：

$$W_{t+1}={\omega }_t{y}_{t+1}.\text{\hspace{1em}(2.39)}$$

投资于股票的财富比例 ${\omega }_t$ 是投资者的选择变量。为了分析这一决策，我们需要明确投资者的效用函数以及 $y_{t+1}$ 的可预测程度。

假设投资者对未来财富具有均值-方差效用，并最大化期望效用：

$$E[U(W_{t+1})|Z_t]=E[W_{t+1}|Z_t]-\frac{a}{2}\mathrm{Var}(W_{t+1}|Z_t),\text{\hspace{1em}(2.40)}$$

其中 $a$ 反映了投资者的风险厌恶程度。量 $E[W_{t+1}|Z_t]$ 和 $\mathrm{Var}(W_{t+1}|Z_t)$ 分别是给定时期 $t$ 信息 $Z_t=\{z_1,...,z_t\}$ 时 $W_{t+1}$ 的条件均值和条件方差。在该效用函数下，投资者的期望效用随期望收益的增加而增加，随风险（以财富的条件方差衡量）的增加而减少。我们可以将期望损失视为 (2.40) 的相反数。

遵循 Campbell 和 Thompson (2008) 的方法，考虑股票超额收益的以下数据生成过程：

$$y_{t+1}=\mu +z_t+{\epsilon }_{t+1},\text{\hspace{1em}(2.41)}$$

其中 $z_t\sim (0,{\sigma }_z^2)$，${\epsilon }_{t+1}\sim (0,{\sigma }_{\epsilon }^2)$，且 $\mathrm{Cov}(z_t,{\epsilon }_{t+1})=0$。这里 $z_t$ 表示一个在时期 $t$ 可能已知、潜在可预测的收益成分，而 ${\epsilon }_{t+1}$ 是收益中不可预测的冲击。对于不掌握 $z_t$ 信息的投资者，$y_{t+1}$ 的期望值为 $\mu$，方差为 $({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)$，因此

$${\omega }_t^{\ast }=\arg \underset{{\omega }_t}{\max }\left\{{\omega }_t\mu -\frac{a}{2}{\omega }_t^2({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)\right\},$$

由此得到以下最优股票持有比例：

$${\omega }_t^{\ast }=\frac{\mu }{a({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)}.\text{\hspace{1em}(2.42)}$$

给定该股票权重，无信息投资者股票持仓的超额收益的均值（无条件期望）变为

$$E[{\omega }_t^{\ast }{y}_{t+1}]=E\left[\frac{\mu (\mu +z_t+{\epsilon }_{t+1})}{a({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)}\right]=\frac{{\mu }^2}{a({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)}=\frac{S^2}{a}.\text{\hspace{1em}(2.43)}$$

其中 $S=\mu /\sqrt{{\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2}$ 是无条件夏普比率，即每单位风险（波动率）的期望超额收益。类似地，$\mathrm{Var}[{\hat{\omega }}_t^{\ast }{y}_{t+1}]={\mu }^2/[a^2({\hat{\sigma }}_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)]]$，因此在最优股票持仓 ${\omega }_t^{\ast }$ 处评估的期望效用为

$$E[U(W_{t+1}(f_t^{\ast }))]=\frac{{\mu }^2}{2a({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)}=\frac{S^2}{2a}.\text{\hspace{1em}(2.44)}$$

转向投资者利用股票收益中可预测成分 $z_t$ 的知情情形，未来财富的条件期望和条件方差分别为 $E[W_{t+1}|Z_t]={\omega }_t(\mu +z_t)$ 和 $\mathrm{Var}(W_{t+1}|Z_t)={\omega }_t^2{\sigma }_{\epsilon }^2$，因此该投资者的最优股票持有比例为

$${\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)=\frac{\mu +z_t}{a{\sigma }_{\epsilon }^2}.\text{\hspace{1em}(2.45)}$$

该投资者的期望平均超额收益变为

$$E\left[\frac{(\mu +z_t)(\mu +z_t+{\epsilon }_{t+1})}{a{\sigma }_{\epsilon }^2}\right]=\frac{{\mu }^2+{\sigma }_z^2}{a{\sigma }_{\epsilon }^2}.\text{\hspace{1em}(2.46)}$$

注意到 (2.41) 中的预测 $R^2$ 由 $R^2={\sigma }_z^2/({\sigma }_z^2+{\sigma }_{\epsilon }^2)$ 给出，(2.46) 中知情投资者的平均（无条件期望）超额收益可写为

$$E[{\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)y_{t+1}]=\frac{S^2+R^2}{a(1-R^2)}.\text{\hspace{1em}(2.47)}$$

将 (2.43) 中无条件预测下的期望收益与 (2.47) 中条件预测下的期望收益进行比较，投资者期望超额收益的比例增加为

$$\frac{E[{\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)y_{t+1}]}{E[{\omega }_t^{\ast }{y}_{t+1}]}=\frac{1+(R^2/S^2)}{1-R^2},\text{\hspace{1em}(2.48)}$$

而简单的收益差 (2.47)–(2.43) 等于 $R^2(1+S^2)/[a(1-R^2)]$。

实证研究表明，预测收益回归的 $R^2$ 接近于 $0$，因此 (2.48) 中的比率接近于 $(1+R^2/S^2)$，这表明预测 $R^2$ 的大小应相对于夏普比率的平方来评估。Campbell 和 Thompson（2008）利用历史数据估计出月度夏普比率的平方为 0.012，即 1.2%。因此，即使月度 $R^2$"仅"为 0.5%，也会使投资组合的平均超额收益提高 0.5/1.2 倍，即大约提高 40%。根据其历史数据，假设风险厌恶系数 $a=3$，这相当于年化预期投资组合收益增加约 1.7%。在这种情况下，即使是很小的 $R^2$ 值也会对投资组合业绩产生相当大的影响。此外，预测 $R^2$ 可用作衡量可预测性所带来的预期收益增益的指标。

均值-方差投资者关注的是期望效用而非期望收益。对于未掌握信息的投资者，其期望效用由 (2.44) 给出。对于掌握信息的投资者，利用 (2.45) 中的最优股票持有量，我们有

$$\begin{array}{rl}& E\left[{\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)y_{t+1}\mid Z_t\right]=E\left[\frac{(\mu +z_t)(\mu +z_t+{\epsilon }_{t+1})}{a{\sigma }_{\epsilon }^2}|Z_t\right]=\frac{(\mu +z_t{)}^2}{a{\sigma }_{\epsilon }^2},\\ & \mathrm{Var}\left[{\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)y_{t+1}\mid Z_t\right]=\frac{(\mu +z_t{)}^2{\sigma }_{\epsilon }^2}{a^2{\sigma }_{\epsilon }^4}=\frac{(\mu +z_t{)}^2}{a^2{\sigma }_{\epsilon }^2},\end{array}$$

因此

$$E\left[U(W_{t+1}({\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)))\mid Z_t\right]=\frac{(\mu +z_t{)}^2}{a{\sigma }_{\epsilon }^2}-\frac{a}{2}\frac{(\mu +z_t{)}^2}{a^2{\sigma }_{\epsilon }^2}=\frac{(\mu +z_t{)}^2}{2a{\sigma }_{\epsilon }^2}.$$

该表达式的平均值（无条件期望）为

$$E\left[E\left[U(W_{t+1}({\tilde{\omega }}_t^{\ast }(z_t)))\mid Z_t\right]\right]=\frac{{\mu }^2+{\sigma }_z^2}{2a{\sigma }_{\epsilon }^2}.\text{\hspace{1em}(2.49)}$$

比较 (2.49) 和 (2.44) 可以看出，两者仅在 ${\sigma }_z^2=0$ 时相同；否则 $(2.49)>(2.44)$，使用预测变量所带来的期望效用增量为

$$\mathrm{CER}=\frac{{\sigma }_z^2}{2a{\sigma }_{\epsilon }^2}=\frac{R^2}{2a(1-R^2)}.$$

这就是确定性等价收益（CER），即如果支付给未掌握信息的投资者一笔额外保证收益，能够使其期望效用与能够使用预测变量的投资者的期望效用相等。利用之前的经验数据，对于 $R^2=0.005$ 和 $a=3$，这相当于约 1% 的年化确定性等价收益。