2.5 宏观经济学与金融学中预测应用的实例

2.5 预测在宏观经济学和金融中的应用实例

预测之所以引起经济主体的关注，仅在于它能有助于改善其决策，因此有必要通过一些简单的经济决策问题来说明预测的重要性。本节给出经济学和金融领域的三个此类实例。

2.5.1 中央银行的决策问题

考虑一个中央银行，其目标是通过单一政策工具 $y_t$ 来调控通货膨胀，该工具可以是某种利率，例如回购利率，即对抵押贷款收取的利率。Svensson（1997）给出了一个简单模型，其中中央银行的损失函数取决于通货膨胀率 $({\mathbf{y}}_t)$ 与目标通货膨胀率 $({\mathbf{y}}^{\ast })$ 之差。Svensson 表明，在已选定其工具（回购利率）数值的条件下，中央银行的决策问题可简化为选择一个使偏离目标程度最小的预测。尽管预测并未直接进入中央银行的损失函数，但它是通过间接方式进入的，因为实际通货膨胀率（这才是中央银行真正关心的）会受到银行利率选择的影响，而利率选择又反映了通货膨胀预测。

具体而言，假设中央银行选择一个利率序列 $\{i_{\tau }{\}}_{\tau =t}^{\infty }$ 以最小化未来预期损失的加权和：

$$E_t\sum _{\tau =t}^{\infty }{\lambda }^{\tau -t}L(y_{\tau }-y^{\ast }),\text{\hspace{1em}(2.31)}$$

其中 $\lambda \in (0,1)$ 为贴现率，$E_t[]$ 表示给定时间 $t$ 可获得信息条件下的条件期望。通货膨胀偏离目标的当期值与未来值均会影响中央银行的损失。

遵循 Svensson 的分析，假设中央银行具有二次型损失函数：

$$\begin{array}{r}L(y_{\tau }-y^{\ast })=\frac{1}{2}(y_{\tau }-y^{\ast }{)}^2.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

未来通货膨胀率取决于为最小化预期未来损失而选择的利率序列，因此满足以下条件：

$$\{i_{\tau }^{\ast }{\}}_t^{\infty }=\arg \underset{\{i_{\tau }{\}}_t^{\infty }}{\min }\sum _{\tau =t}^{\infty }{\lambda }^{\tau -t}{E}_t\left[(y_{\tau }-y^{\ast }{)}^2\right].\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

问题更为复杂的是，通货膨胀并非外生的，而是受中央银行行为的影响。因此求解（2.33）相当困难，因为当前和未来的利率都会影响未来的通货膨胀率。由于通货膨胀预测仅在其影响中央银行利率政策进而影响未来通货膨胀的范围内才具有重要性，因此需要一个通货膨胀数据生成过程的模型。Svensson 提出了一种易于处理的方法，假设通货膨胀和产出按以下方程生成：

$$y_{t+1}=y_t+{\alpha }_1{z}_t+{ϵ}_{t+1},\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

$$z_{t+1}={\beta }_1{z}_t-{\beta }_2(i_t-y_t)+{\eta }_{t+1},\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

其中 $z_t$ 为相对于其潜在水平的当期产出，所有参数均为正，即 ${\alpha }_1,{\beta }_1,{\beta }_2>0$。${ϵ}_{t+1}$ 和 ${\eta }_{t+1}$ 分别为通货膨胀和产出的不可预测冲击。第一个方程将通货膨胀的变化表示为滞后产出的函数，第二个方程表明实际利率 $(i_t-y_t)$ 滞后地影响产出，并在 ${\beta }_1<1$ 的假设下允许自回归动态。利用这些方程求解两期之后的通货膨胀，我们得到如下方程：

$$y_{t+2}=(1+{\alpha }_1{\beta }_2)y_t+{\alpha }_1(1+{\beta }_1)z_t-{\alpha }_1{\beta }_2{i}_t+{ϵ}_{t+1}+{\alpha }_1{\eta }_{t+1}+{ϵ}_{t+2}.\text{\hspace{1em}(2.36)}$$

注意到政策工具 $(i)$ 以两期的时滞影响目标变量 $(\mathbf{y})$。此外，每个利率仅影响一个未来的通货膨胀率，因此对（2.33）中无穷和式的求解可简化为选择 $i_t$ 以瞄准 $y_{t+2}$，选择 $i_{t+1}$ 以瞄准 $y_{t+3}$，依此类推。因此，中央银行在设定当前利率 $i_t$ 时的目标简化为：

$$\underset{i_t}{\min }{E}_t\left[{\lambda }^2(y_{t+2}-y^{\ast }{)}^2\right].$$

利用（2.32）中的二次型损失函数，一阶条件变为：

$$E_t\left[\frac{\partial L(y_{t+2}-y^{\ast })}{\partial i_t}\right]=E_t\left[(y_{t+2}-y^{\ast })\frac{\partial y_{t+2}}{\partial i_t}\right]=0.\text{\hspace{1em}(2.37)}$$

由（2.36）可知，这意味着选择 $i_t$ 使得 $E_t[y_{t+2}]=y^{\ast }$，这可以通过设定以下利率来实现：

$$i_t^{\ast }=y_t+\frac{(y_t-y^{\ast })+{\alpha }_1(1+{\beta }_1)z_t}{{\alpha }_1{\beta }_2}.\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

由此可知，最优的当前利率 $i_t^{\ast }$ 应当随着当期通货膨胀率的提高以及产出相对于其潜在水平的提高（即产出缺口的下降）而提高。

在此利率水平的选择下，损失函数中的变量简化为：

$$y_{t+2}-y^{\ast }=({ϵ}_{t+1}+{\alpha }_1{\eta }_{t+1}+{ϵ}_{t+2}).$$

这仅仅是确定性等价的一个例子，它在很大程度上依赖于(2.32)式中所选定的平方误差损失函数。如果原始损失函数没有形如(2.37)式那样关于通胀呈线性的一阶条件，那么其解就不会如此简单，预期损失也不会是预期通胀率的简单函数。