2.3 多元损失函数

2.3 多元损失函数

当决策者的目标依赖于多个变量时，损失函数需要从定义在标量结果上扩展为依赖于一个结果向量。这种情况例如出现在中央银行同时关注通胀和就业前景时。

从概念上讲，将单变量损失函数推广到多元情形是容易的，尽管在确定不同预测误差组合的代价时可能会出现困难。各个预测误差或其交叉乘积如何加权变得尤为重要。

最常见的多元损失函数是多元二次误差损失，也称为多元均方误差损失；参见 Clements and Hendry (1993)。该损失函数将一个预测误差向量 $e=(e_1,\dots ,e_n{)}^{\prime }$ 映射到实数轴上，因此它仅仅是各个预测误差的平方项及其交叉乘积的加权和：11

$$\mathrm{MSE}(A)=e^{\prime }Ae.$$

此处要求 $(n\times n)$ 矩阵 $A$ 是非负且正定的。这等价于单变量情形下 MSE 损失中 (2.11) 式 $a>0$ 的假设的矩阵推广。

正如在 MAPE 损失的讨论中提到的，当被预测变量采用不同单位度量时，(2.23) 式中的损失函数可能难以解释。这一问题与获得一个合理的损失函数设定有关，该损失函数的作用是比较和权衡不同变量之间不同大小的损失。因此，这实际上并非损失函数本身的局限性，而是损失函数应用层面的问题。

(2.23) 式中的损失函数是"碗形"的，即其水平集是凸的且关于 0 对称。容易验证 (2.23) 式满足 (2.3) 式中损失函数的基本假设。如果整个预测误差向量为 0，则损失为 0。正定且非负的权重矩阵 $A$ 确保随着预测误差的增大，损失也会增加，因此假设 (2.3c) 成立。12

当 $A=I_n$，即 $(n\times n)$ 单位矩阵时，出现一种特殊情形。此时可以忽略协方差，损失函数简化为 MSE $\begin{array}{r}(I_n)=E\left[e^{\prime }e\right]=\end{array}$ tr $E\left[\left(e{e}^{\prime }\right)\right]$，即各个均方误差之和。因此，基于预测误差协方差矩阵迹的损失函数仅仅是 (2.23) 式一般形式的一个特例。然而，一般而言，预测误差之间的协方差会发挥作用，反映出与 $A$ 中非对角项相对应的交叉乘积。

作为多元损失函数的第二个例子，Komunjer and Owyang (2012) 提供了对 Elliott, Komunjer, and Timmermann (2005) 中 (2.17) 式损失函数的一个有趣推广，适用于 $e=(e_1,\dots ,e_n{)}^{\prime }$ 的情形。

设 $||e|{|}_p=(|e_1{|}^p+\cdot \cdot \cdot +|e_n{|}^p{)}^{1/p}$ 为 $e$ 的 $l_p$ 范数，并假设 $n$ 维不对称参数向量 $\alpha$ 满足 $||\alpha |{|}_q<1$。进一步，设 $1\le P\le \infty$，对于给定的 $p_{:l}$ 值，选取 $q$ 使 $1/p+1/q=1$。Komunjer and Owyang 提出的多元损失函数形式为

$$L(e)=(||e|{|}_p+{\alpha }^{\prime }e)||e|{|}_p^{p-1}.\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

与单变量情形一样，大预测误差相对于小预测误差被惩罚的程度由指数 $\mathbf{P}$ 决定。然而，现在整个向量 $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 表征了损失函数的不对称性，其中 $\alpha =0$ 表示对称情形。由于 $\alpha$ 是一个向量，该损失函数在多元损失函数的不对称性大小和方向上都提供了很大的灵活性。

其他多元损失函数已在实证研究中被使用。Laurent, Rombouts, and Violante (2013) 考虑了 Patton (2011) 所引入损失函数族的一个多元版本，并将其应用于波动率预测。