依赖于其他状态变量的损失函数

2.2.3 依赖于其他状态变量的损失函数

在前面的一些简化假设下，我们看到二元损失函数具有特别简单的形式。更一般地，如果损失函数依赖于 $Z$，且与完美预测相关的损失依赖于结果 $Y$，则二元问题的损失函数变为

$$L(f,y,z)=\{\begin{array}{ll}-u_{1,1}(z)& \mathrm{if}f=1\mathrm{and}y=1,\\ -u_{1,0}(z)& \mathrm{if}f=1\mathrm{and}y=0,\\ -u_{0,1}(z)& \mathrm{if}f=0\mathrm{and}y=1,\\ -u_{0,0}(z)& \mathrm{if}f=0\mathrm{and}y=0,\end{array}$$

其中 $u_{i,j}(z)$ 是当 $f=i$、$y=j$ 且 $Z=z$ 时获得的效用。

在这种一般形式下，损失函数无法简化为仅依赖于预测误差。需要对 (2.21) 中的损失施加限制。首先，我们要求 $u_{0,0}(z)>u_{1,0}(z)$ 且 $u_{1,1}(z)>u_{0,1}(z)$，使得与正确预测相关的损失不高于与错误预测相关的损失。我们还可以施加 $\min \{u_{0,0}(z),u_{1,1}(z)\}>\max \{u_{1,0}(z),u_{1,0}(z)\}$，使得正确预测产生较低的损失（较高的效用）。最后，假设正确预测与不同的损失 $u_{0,0}(z)\ne u_{1,1}(z)$ 相关联是相当合理的，在这种情况下，无法将两种结果对应的完美预测的损失同时归一化为 0。这是一个将水平相关损失直接构建到损失函数中的例子。

2.2.4 结果存在测量误差时预测的一致排序

Hansen 和 Lunde（2006）以及 Patton（2011）考虑了当观察到的结果存在测量噪声时，如何比较不同模型并对波动率预测进行一致排序的问题。这种情况在波动率预测或宏观预测中很常见，因为这些结果随后可能会被修订。资产收益的波动率实际上从未被观察到，尽管可以构造其代理变量。波动率预测比较通常使用已实现波动率、平方收益或基于极差的代理变量 ${\hat{\sigma }}^{\hat{2}}$ 来代替真实方差 ${\sigma }^2$。

Hansen 和 Lunde 建立了充分条件，在这些条件下，有噪声的代理变量可以用于预测评估，而不会产生与基于真实结果（不可行）的排序不一致的排序。

Patton 将一个损失函数定义为对结果中的测量误差具有稳健性，如果在基于真实（但未观察到的）结果或某个无偏代理的预期损失排序下，该损失函数对两个预测给出相同的排序。具体来说，如果对于两个预测 $f_1$ 和 $f_2$，基于真实结果 $y$ 的排序

$$E[L(f_1,y)]\supseteq E[L(f_2,y)]$$

与基于代理结果 $\hat{y}$ 的排序相同，则该损失函数对此类测量误差具有稳健性：

$$E[L(f_1,\hat{y})]\supseteq E[L(f_2,\hat{y})],$$

其中代理 $\hat{y}$ 满足 $E\left[\hat{y}|Z\right]=y$，$Z$ 仍是用于生成预测的信息集。

Patton（2011，命题 1）建立了稳健损失函数必须属于以下族的条件：

$$L(f,\hat{y})=\tilde{C}(f)+B(\hat{y})+C(f)(\hat{y}-f),$$

其中 $B$ 和 $C$ 是二阶连续可微函数，$C$ 严格递减，$\tilde{C}$ 是 $C$ 的原函数，即 ${\tilde{C}}^{\prime }=C$。${}^{10}$ 在 Patton 的分析中，$f$ 是波动率预测，$\hat{y}$ 是已实现波动率的代理。族 (2.22) 中的损失函数例子包括 MSE 和 QLIKE 损失：

$$\mathrm{MSE}:L(f,\hat{y})=(\hat{y}-f{)}^2,$$

$$\mathrm{QLIKE}:L(f,\hat{y})=\log (f)+\frac{\hat{y}}{f}.$$