2.2.1.6 二元损失

2.2.1.6 二元损失

当结果空间 $\mathcal{Y}$ 是离散的时候，预测误差通常只取少数几个可能的值。因此，在为这类问题构造损失函数时，只需要评估少数几种可能性。最简单的情况是预测二元结果，使得 $\mathcal{V}=\{-1,1\}$ 或 $\mathcal{V}=\{0,1\}$。在这种情况下，点预测和结果只有四种可能的配对：两种预测正确的情况和两种预测错误的情况。如果我们将损失函数限制为不依赖于 $Z$（这种情况将在下面讨论），并且进一步限制问题使得正确预测的损失值与 $Y$ 的取值无关，那么二元损失函数可以写为

$$L(f,y)=\{\begin{array}{ll}0& \text{如果 }f=y=0,\\ (1-c)& \text{如果 }f=0,y=1,\\ c& \text{如果 }f=1,y=0,\\ 0& \text{如果 }f=y=1.\end{array}$$

这里我们将正确预测的损失设为 0，并通过除以其总和将错误预测的损失归一化使其和为 1；参见 Schervish (1989)、Boyes、Hoffman 和 Low (1989)、Granger 和 Pesaran (2000) 以及 Elliott 和 Lieli (2013)。

要使 (2.18) 成为一个有效的损失函数，我们要求 $0<c<1$。这确保了损失函数在 (2.3) 中列出的性质成立。注意，二元损失函数可以写成 $L(e)$ 的形式，因为损失等于

$$L(f,y)=c1(e<0)+(1-c)1(e>0)。$$

2.2.2 水平和预测依赖型损失函数

经济损失通常被假设为只依赖于预测误差 $e=Y-f$。对于预测者的目标函数依赖于状态变量（如结果变量 $Y$ 的水平）的情况来说，这一假设过于局限。更一般地，我们可以考虑形式为 $L(f,y)\ne L(e)$ 的损失函数。最常见的水平依赖型损失函数是平均绝对百分比误差 (MAPE)，其形式为

$$L(e,y)=a\left|\frac{e}{y}\right|。$$

由于预测和预测误差与结果具有相同的单位，MAPE 是一个无量纲的损失函数。这被认为是该损失函数的一个优势，因为在构造其样本类比并用它来评估跨不同单位测量结果的预测方法时非常方便。如果损失函数能够基于预测问题所产生的实际成本进行合理的设置，那么对单位的依赖似乎并不是一个重要问题——对不同单位下不同预测的比较不应该通过某种任意调整来进行，而应该通过权衡与每种结果的预测误差相关的成本来进行。这正是下一节中讨论的多变量损失函数所实现的目标。

在 (2.19) 中用结果对预测误差进行缩放，其效果是对 $y$ 接近 0 时的预测误差赋予比 $y$ 远离 0 时更大的权重。这在许多应用中难以被合理化。此外，如果 $Y$ 的预测分布在 0 处具有非平凡的概率质量，那么期望损失很可能不存在，从而使决策理论的许多结果在此情况下失效。尽管如此，MAPE 损失在许多实际的预测评估实验中仍然很流行。

更一般地，水平和预测依赖型损失函数可以写成 $L(f,y)$ 的形式，但不能简化为 $L(e)$ 或 $L(e,y)$。尽管这类损失函数并不特别常见，但也有使用的例子。例如，Bregman (1967) 提出了以下形式的损失函数：

$$L(f,y)=\varphi (y)-\varphi (f)-{\varphi }^{\prime }(f)(y-f)，$$

其中 $\varphi$ 是一个严格凸函数，因此 ${\varphi }^{\prime \prime }>0$。平方误差损失是 2.20 的一个特殊嵌套情形。

对 (2.20) 关于预测 $f$ 求导，我们得到

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L(f,y)}{\partial f}& =-{\varphi }^{\prime }(f)-{\varphi }^{\prime \prime }(f)(y-f)+{\varphi }^{\prime }(f)\\ & =-{\varphi }^{\prime \prime }(f)(y-f),\end{array}$$

这一般同时依赖于 $y$ 和 $f$。这一点连同 ${\varphi }^{\prime \prime }>0$ 的假设，确保了条件均值是最优预测。Bregman 损失将在 Patton (2015) 中进一步讨论。

在水平依赖型损失的一个经验应用中，Patton 和 Timmermann (2007b) 发现，如果将美联储对产出增长的预测损失限制为仅依赖于预测误差，那么这些预测就不是最优的。要合理解释美联储的预测，不仅需要假设对产出增长的高估比低估代价更高，还需要假设在低经济增长时期对产出的高估尤其代价高昂。这一发现可以通过以下观点得到解释：在低经济增长时期，过紧的货币政策代价特别高，因为这种政策可能会引发或延长经济衰退。