2.2.1.5 分段非对称损失

2.2.1.5 分段非对称损失

通过让损失函数在一组离散点 $\{{\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_{n-1}\}$ 处发生跳跃，可以构造一个一般性的非对称损失函数类：

$$L(e)=\{\begin{array}{cl}{L}_1(e)& \mathrm{if}e\le {\overline{e}}_1,\\ L_2(e)& \mathrm{if}{\overline{e}}_1<e\le {\overline{e}}_2,\\ & \\ ⋮& ⋮\\ L_n(e)& \mathrm{if}e>{\overline{e}}_{n-1}.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

其中 ${\bar{e}}_{i-1}<{\bar{e}}_i$，$i=2,\dots ,n-1$。通常取 $n=2$，${\bar{e}}_1=0$，并假设损失函数的两段都满足通常的损失函数性质，从而使得损失函数在 0 附近是分段非对称且连续的（但不一定是

$a_2=1$ 时的右偏 Linex 损失

$a_2=-1$ 时的左偏 Linex 损失

图 2.2：不同 Linex 参数值 $a_2$ 下的 MSE 损失与 Linex 损失对比

可微的）。(2.13) 式中的 lin-lin 损失是 (2.15) 的一个特例，Artis 和 Marcellino（2001）、Newey 和 Powell（1987）以及 Weiss（1996）所考虑的非对称二次损失函数

$$L(e)=\{\begin{array}{ll}(1-\alpha )e^2& \mathrm{if}e\le 0,\\ \alpha e^2& \mathrm{if}e>0,\end{array}\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

也是一个特例。

Elliott、Komunjer 和 Timmermann（2005）提出了一个灵活的损失函数类，在 (2.15) 中取 $n=2$、${\bar{e}}_1=0$，并令 $L_1(e)=(1-\alpha )|e{|}^p$，$L_2(e)=\alpha |e{|}^p$，其中 $\mathbf{p}$ 为正整数，$\alpha \in (0,1)$。由此得到 EKT 损失函数：

$$L\left(e\right)\equiv \left[\alpha +(1-2\alpha )1\left(e<0\right)\right]|e{|}^p,\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

其中 $1(e<0)$ 是示性函数，当 $e<0$ 时取 1，否则取 0。令 α 偏离 0.5 即可产生非对称损失，α 值越大表示对正预测误差的厌恶程度越高。令 $p=1$ 且 $\alpha =0.5$ 即可得到 MAE 损失。更一般地，令 $p=1$ 时，(2.17) 简化为 lin-lin 损失，因为此时损失函数在 0 的两侧都是线性的，但斜率不同。令 $p=2$ 且 $\alpha =0.5$ 则得到 MSE 损失函数，因此它也是一个嵌套的特殊情形；令 $p=2$，$\alpha \in (0,1)$ 时，嵌套为非对称二次损失函数 (2.16)。因此，EKT 损失函数族将 (2.11)、(2.12)、(2.13) 和 (2.16) 中的损失函数作为特例进行了嵌套，并推广了许多常用的损失函数。

α = 0.75

图 2.3：$p=3$ 时，不同非对称参数 α 值下的 MSE 损失与 EKT 损失对比

图 2.3 给出了 $p=3$、$\alpha =0.25$（上图）和 $\alpha =0.75$（下图）时 EKT 损失函数的图像。与 MSE 损失相比，该损失函数可以产生显著的非对称性。

在实证研究中，EKT 损失函数已被用于分析 IMF 和 OECD 对政府预算赤字的预测（Elliott、Komunjer 和 Timmermann，2005）、联邦储备委员会的通胀预测（Capistrán，2008），以及专业预测者调查（Survey of Professional Forecasters）中的产出和通胀预测（Elliott、Komunjer 和 Timmermann，2008）。