2.2.1.2 绝对误差损失

2.2.1.2 绝对误差损失

在某些情况下，我们更倾向于使用绝对误差而非平方误差，因为平方误差会对较大的预测误差产生越来越大的损失。在平均绝对误差（MAE）损失下，

$$L(e)=a\left|e\right|,a>0.\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

α = 0.75

α = 0.5，MAE 损失

图 2.1：不同 lin-lin 不对称参数 α 取值下的 MSE 损失与 lin-lin 损失比较

与 MSE 损失类似，该损失函数也满足 (2.3) 中列出的三个格兰杰性质。该损失函数是对称的、碗状的，并且在除 0 之外的任何点都可微。它同样是无界的。然而，与 MSE 损失相比，大预测误差的惩罚呈线性增长而非二次增长。

2.2.1.3 分段线性损失

分段线性（也称为 lin-lin）损失的形式为

$$L(e)=\{\begin{array}{ll}-a(1-\alpha )e& \mathrm{if}e\le 0,\\ a\alpha e& \mathrm{if}e>0,\end{array}a>0,\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

其中 $0<\alpha <1$。正预测误差被赋予（相对）权重 $\alpha$，而负误差的权重则为 $1-\alpha$。α 越大，正预测误差的损失越大，负预测误差的损失越小。同样地，对于所有正值的 $a$，该损失函数构成一个同质类。通常将 $a=1$，使得权重归一化之和为 1。

lin-lin 损失显然满足三个格兰杰性质。此外，它在除 0 之外的任何点都可微。与 MSE 损失相比，该损失函数对大误差的惩罚较小。当 $\alpha =0.5$ 时，MAE 损失是 lin-lin 损失的一个特例，此时 (2.13) 简化为 (2.12)。

图 2.1 给出了 lin-lin 损失与平方误差损失的对比图。中间的窗口显示了 $\alpha =0.5$ 时的对称情形，因此对应于 MAE 损失。在 MAE 损失下，小预测误差（$|e|<1$）的代价高于 MSE 损失；反之，大误差在 MSE 损失下的代价更高。顶部窗口假设 $\alpha =0.25$，因此负预测误差的代价是正误差的三倍，这在损失曲线 $e<0$ 处更陡的斜率上得以体现。底部窗口中 $\alpha =0.75$，正预测误差的代价是负误差的三倍。

2.2.1.4 Linex 损失

线性指数（Linear-exponential），即 Linex，损失的形式为

$$L(e)=a_1(\exp (a_{2}e)-a_{2}e-1),a_2\ne 0,a_1>0.\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

Linex 损失在所有点都可微，但并非对称的。Varian (1975) 使用此损失函数分析房地产评估，而 Zellner (1986a) 在贝叶斯预测问题的背景下使用了它。

参数 $a_2$ 同时控制不对称性的程度和方向。当 $a_2>0$ 时，Linex 损失对负预测误差近似为线性，对正预测误差近似为指数形式。在这种情况下，较大的低估（$f<y$，即 $e=y-f>0$）的代价高于同幅度的低估，且相对代价随预测误差幅度的增加而上升。反之，当 $a_2<0$ 时，较大的高估的代价高于同等大小的低估。

虽然 Linex 损失在 $a_1=0$ 时没有定义，但若设 $a_1=2/a_2^2$ 并令 $a_2\to 0$，由洛必达法则可知 Linex 损失函数趋近于平方误差损失：

$$\underset{a_2\to 0}{\lim }\mathcal{L}(e)=\underset{a_2\to 0}{\lim }\frac{\exp (a_{2}e)-e}{2a_2}=\underset{a_2\to 0}{\lim }\frac{e^2\exp (a_{2}e)}{2}=\frac{e^2}{2}.$$

图 2.2 给出了 $a_2=1$（顶部）和 $a_2=-1$（底部）时 MSE 损失与 Linex 损失的对比图。以 MSE 损失为基准进行衡量，在上述两种情形下，较大的正预测误差（顶部）或较大的负预测误差（底部）的代价都非常高。该损失函数已被广泛应用于诸多实证研究中，涉及的变量包括预算预测（Artis and Marcellino, 2001）以及通货膨胀的调查预测（Capistrán and Timmermann, 2009）。Christoffersen and Diebold (1997) 对该损失函数进行了更为详细的考察。