2.1.2 损失函数的共同性质

2.1.2 损失函数的共同性质

合理的损失函数植根于经济决策问题。在效用最大化方法下，损失函数继承效用函数的若干众所周知的性质。然而，实践中通常的做法并非从基本原理出发推导损失函数，而是直接使用具有"合理形状"的损失函数。要使损失函数"合理"，一组最基本的性质必须成立。对称性、齐次性等其他性质则可提示出具有某些理想特征的更广泛的损失函数族。下面我们将分别讨论这两类性质。

当 $f\ne y$ 时，损失函数量化了不同预测误差之间的权衡。为体现"误差越大、损失越大"这一理念，通常要求损失随着预测值偏离实际结果而非递减。用数学语言来说，即对于所有实数 $y$，在 $f_2>f_1>y$ 或 $f_2<f_1<y$ 时，有 $L(f_2,y)\ge L(f_1,y)$。实践中几乎所有损失函数都具有这一特征。

对于仅依赖于预测误差 $e=y-f$、从而具有 $L(f,y)=L(e)$ 形式的损失函数，Granger (1999) 将这些要求总结为：

$$L(0)=0(\text{最小损失为 }0)；\text{\hspace{1em}(2.3a)}$$

$L(e)\ge 0$ 对所有 $e$ 成立；

(2.3b)

$L(e)$ 在 $e<0$ 时关于 $e$ 非递增，在 $e>0$ 时关于 $e$ 非递增

$$L(e_1)\le L(e_2)\text{ 若 }{e}_2<e_1<0，L(e_1)\le L(e_2)\text{ 若 }{e}_2>e_1>0.\text{\hspace{1em}(2.3c)}$$

与更一般的损失 $L(f,y)$ 情形相同，条件 (2.3a) 只是将完美预测 $(y=f)$ 所对应的损失标准化为 0。第二个条件表明，不完美预测 $(y\ne f)$ 产生的损失大于完美预测的损失。多数常见的损失函数仅依赖于 $e$；相关例子见 2.2 节。

损失函数的其他性质——如齐次性、对称性、可微性和有界性——可用于定义更广泛的损失函数类别。下面依次讨论这些性质。

齐次性可用于定义能够产生相同决策的损失函数类别。齐次损失函数以如下方式分解：

$$L(af,ay)=h(a)L(f,y),\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

其中 $h(a)$ 为某正函数，且齐次的程度无关紧要。对于仅依赖于预测误差的损失函数，齐次性表现为 $L(ae)=h(a)L(e)$，其中 $h(a)$ 为某正函数。在求解最优预测时，齐次性是一项有用的性质，因为最优预测对于 $h(a)$ 的不同取值保持不变。

损失函数的对称性是指预测围绕 $y$ 的对称性，即对所有 $f$，有

$$L(y-f,y)=L(y+f,y).\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

对于仅依赖于预测误差的损失函数，对称性简化为 $L(-e)=L(e)$，即同等幅度的过高预测和过低预测导致相同的损失。

经济预测领域的大多数实证研究均假设损失具有对称性。这一选择反映了在量化过高预测与过低预测的相对成本方面所面临的困难。构建损失函数需要更深入地理解预测者的目标，而这一点往往难以实现。尽管如此，预测文献中的大多数研究隐含地选择均方误差损失，这似乎难以从经济学角度加以证明。正如 Granger 和 Newbold (1986, 第 125 页) 所指出的："关于条件均值对称的假设……可能较易被接受……而对成本函数对称性的假设则远不那么容易被接受。"

损失函数关于预测值的可微性同样是一项有助于在数值上简化最优预测搜索的正则性条件。然而，这一条件未必是理想的，对于损失函数的良定义当然也不是必需的。一般而言，损失函数在有限个不可微点处不可微，并不会在估计阶段造成过多麻烦。但当损失函数极不规则时，需要采用不同的方法来分析损失函数的统计性质（参见第 12 章中的最大效用估计量）。

最后，损失函数可以是有界的或无界的。就实际而言，通常没有明显理由让损失函数赋予极大预测误差的权重无限增大。例如，下面将考察的平方误差损失函数，对美国通货膨胀的预测误差为 100% 与 500% 时所赋予的损失差异极大，但鉴于这两种预测都可能引发非常类似的行动，相应的损失是否真的应该有如此大的差异并不明确。无界损失函数会给预测分析带来技术上的困难，因为期望损失可能不存在；因此，决策理论中的大多数结论都是在有界损失的假设下得出的。实践中，预测通常是有界的，极其异常的预测一般会被截断，因为它们被视为不合理的。