2.1 损失函数的构建与设定

2.1 损失函数的构造与规范

设 $Y$ 表示描述感兴趣结果的随机变量，$\mathcal{Y}$ 表示所有可能结果的集合。对于连续型结果或可取大量可能值的结果，$\mathcal{Y}$ 通常是实数 $\mathbb{R}$。在某些预测问题中，可能结果的集合 $\mathcal{Y}$ 可以小得多，例如对于二元随机变量，$\mathcal{Y}=\{0,1\}$。对于多元结果，通常 $\mathcal{Y}={\mathbb{R}}^k$，其中 $k$ 为某个整数，表示待评估预测的数量。

点预测用 $f$ 表示，定义在集合 $\mathcal{F}$ 上。通常我们假设 $\mathcal{F}=\mathcal{Y}$，因为在大多数情况下，让预测不能取与 $Y$ 相同的值，或者反过来，让预测能取 $Y$ 不能取的值，都没有意义。然而也存在例外。例如，对家庭子女数的预测可以是 1.9 这样的小数，表示接近 2 个孩子，尽管 $Y$ 不能取此值。我们假设预测变量 $Z$（以及结果 $Y$ 和由此产生的预测 $f$）是实值变量。形式上，损失函数 $L(f,Y,Z)$ 定义为一个映射 $L:\mathcal{F}\times \mathcal{Y}\times \mathcal{Z}\mapsto \mathcal{L}$，其中 $\mathcal{L}\in {\mathbb{R}}^1$，$\mathcal{Z}$ 包含条件变量 $z$ 可取值的集合。通常 $\mathcal{L}={\mathbb{R}}_{+}^1$，即非负实数集合。另一种选择是，我们可以将预测限制在所有可能结果集合的凸包内，即 $\mathcal{F}=\mathrm{conv}(\mathcal{Y})$。我们将在下文进一步讨论这一点。

损失函数的一个常见假设是，当预测等于结果时损失最小，即 ${\min }_{f}L(f,y,z)=L(y,y,z)$。其思想是，如果我们要寻找使损失最小化的预测，那么完美预测是不可超越的。当损失函数不依赖于 $Z$，即 $L(f,Y,Z)=L(f,Y)$ 时，将损失函数归一化使其在 0 处取最小值是自然的。这可以在不丧失一般性的情况下实现，方法是从完美预测 $f=y$ 相关的损失中减去相应的值，即 $L(f,Y)=\tilde{L}(f,Y)-\tilde{L}(Y,Y)$，对于任何损失函数 $\tilde{L}$。要使 $f=y$ 成为唯一最小值，必须对所有 $f\ne y$ 有 $L(f,y)>0$。${}^1$ 更一般地，当损失函数 $L(f,Y,Z)$ 随 $Z$ 变化时，可能无法以这种方式重新调整损失函数。例如，政策制定者关于通胀预测的损失函数可能依赖于失业率，因此错误通胀预测所造成的损失取决于失业率的高低。为简便起见，在下面的讨论中我们将大多略去损失函数对 $Z$ 的显式依赖，专注于更简单的损失函数 $L(f,Y)$。

2.1.1 构造损失函数

损失函数的构造与贝叶斯分析中先验分布的构造类似，需要对所面临的预测问题进行仔细研究，并应反映不同方向和不同幅度的预测误差之间的实际权衡。如果决策环境得到完全规定，并自然产生依赖于预测的可测结果，那么权衡的明确表达是直接的。例如，对于具有特定交易策略（需要未来资产价格预测）的利润最大化投资者而言，自然的损失选择是与预测和实现收益相关的、关联收益的函数。其他问题可能不容易得到一个具体的损失函数。例如，当 IMF 预测各个国家的预算赤字时，与债务融资成本相关的短期考虑和长期声誉顾虑可能都很重要。${}^2$ 在这种情况下，我们可以再次遵循贝叶斯先验选择策略，定义一个函数来近似基于错误预测进行决策时所产生损失的合理形状。

预测者用来评估其表现的损失函数与经济学家用来评估不同结果经济价值的效用函数之间存在天然联系。二者都基于同一决策理论框架，即将预测视为决策、将结果视为真实状态，并将（状态）与预测的配对 $(Y,f)$ 映射到实数。在这两种情况下，我们都关心最小化由决策产生的期望损失或负效用。

效用与损失之间的关系在 Granger 和 Machina (2006) 中得到了考察，他们表明损失函数可视为效用函数的负值，尽管以下形式的一种更一般的关系成立：

$$U(f,Y)=k(Y)-L(f,Y),\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

其中 $k(Y)$ 在推导最优预测时不起作用。

例 2.1.1（平方损失与效用）。Granger 和 Machina (2006) 证明，效用函数 $U(f,Y)$ 在 $a>0$ 时生成平方误差损失 $L(f,Y)=a(Y-f{)}^2$，当且仅当其具有如下形式：

$$U(f,Y)=k(Y)-a(Y-f{)}^2.\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

由此可见，与平方误差损失相关的效用函数被限制在一个非常狭窄的集合内。

学术研究通常并不通过参照效用函数或完全明确的决策理论问题来从基本原理推导损失函数，尽管存在一些例外。Leitch 和 Tanner（1991）以及 Elliott 和 Ito（1999）曾采用利润函数形式的损失函数来评估预测。West 等人（1993）针对汇率模型比较了基于效用和基于统计的预测准确性度量方法。本章最后一节提供了从效用推导损失函数的示例。