损失函数

因此，需要一种形式化的方法来权衡不同方向和幅度的潜在预测误差。损失函数 $L(\cdot )$ 以相对的方式描述了使用不完美预测 $f$ 的代价程度，给定实际结果 $Y$ 以及可能的其他观测数据 $Z$。本章考察损失函数的构造与性质，并介绍预测中常用的损失函数。

构造损失函数的一个核心要点在于，损失函数应当反映不同预测误差之间实际的权衡关系。从这个意义上说，损失函数是预测问题的原始要素。从决策理论的角度来看，预测是在给定损失函数和预测分布的前提下必须构造的行动，我们将在下一章讨论这一点。例如，国会预算办公室必须提供对未来预算赤字的预测。其提供预测时的损失函数应当基于高估和低估公共赤字的相对成本。天气预报员面临的代价则截然不同——低估风暴强度与高估风暴强度所带来的代价差异巨大。

损失函数的选择对预测工作的每个方面都至关重要。这一选择会影响哪些预测模型更为可取，以及如何估计其参数、如何评估所得预测并将其与来自其他竞争模型的预测进行比较。尽管损失函数扮演着关键角色，但常见的做法是直接选用现成的损失函数。在这种情况下，重要的是选择一个至少能够近似反映所研究预测问题中相关权衡类型的损失函数。例如，在预测酒店客房预订量时，很难想象对某一天酒店预订房间数的高估和低估会带来相同的损失，因为酒店客房是一种易逝品。因此，对此类问题使用对称损失函数是毫无意义的。能够反映高估预订量比低估预订量带来更大损失的非对称损失函数更为合理。

经济学文献中也有精心设计的损失函数实例。例如，有时预测可以被视为战略性博弈中的一个信号，受到预测提供者激励的影响。Ehrbeck 和 Waldmann (1996)、Hong 和 Kubik (2003)、Laster、Bennett 和 Geoum (1999)、Ottaviani 和 Sørensen (2006)、Scharfstein 和 Stein (1990) 以及 Trueman (1994) 等研究提出了基于博弈论模型的损失函数。这些研究假定预测者在预测未来结果的能力上存在差异。预测者的主要目标是影响预测使用者对其能力的评估。这类目标对于商业分析师或受雇于投资银行、经纪公司等金融服务机构的分析师而言十分常见，因为他们的薪酬与客户对其预测能力的评估直接挂钩。

本章的结构如下。第 2.1 节考察损失函数构造中的一般性问题。我们将讨论损失函数的数学设定，然后将其与预测者的决策联系起来，并考察损失函数所具备的一些一般性质。第 2.2 节回顾在经济预测问题中常用的特定损失函数（假定只有单个结果需要预测），然后在第 2.3 节中将分析扩展到涵盖多个结果变量的情形。第 2.4 节考虑针对分布预测的损失函数（评分规则），而第 2.5 节提供了一些来自宏观经济和金融分析的损失函数与经济决策问题的具体实例。第 2.6 节对本章进行总结。